Լուծեք {c}{3x+y=2}{x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 2 } \\ { x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=2$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y+2:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y+2}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=-3:

$$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}-y=-3$$

Գումարեք -\frac{y}{3} -y-ին:

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}=-3$$

Հանեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{4}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{11}{4}$$

Փոխարինեք \frac{11}{4}-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{11}{4}+\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ \frac{11}{4}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{11}{12}+\frac{2}{3}$$

Գումարեք \frac{2}{3} -\frac{11}{12}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{1}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{3}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=2,x-y=-3$$

3x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$3x+y=2,3x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right)$$

Պարզեցնել:

$$3x+y=2,3x-3y=-9$$

Հանեք 3x-3y=-9 3x+y=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+y+3y=2+9$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y+3y=2+9$$

Գումարեք y 3y-ին:

$$4y=2+9$$

Գումարեք 2 9-ին:

$$4y=11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=\frac{11}{4}$$

Փոխարինեք \frac{11}{4}-ը y-ով x-y=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\frac{11}{4}=-3$$

Գումարեք \frac{11}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$x=-\frac{1}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$