Լուծեք {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+4y=1$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-4y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -4y+1:

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -2y+\frac{1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-y=2:

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -2y+\frac{1}{2}:

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

Գումարեք -10y -y-ին:

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=\frac{1}{22}$$

Փոխարինեք \frac{1}{22}-ը y-ով x=-2y+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{1}{22}:

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} -\frac{1}{11}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{9}{22}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Պարզեցնել:

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

Հանեք 10x-2y=4 10x+20y=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$20y+2y=5-4$$

Գումարեք 20y 2y-ին:

$$22y=5-4$$

Գումարեք 5 -4-ին:

$$22y=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 22-ի:

$$y=\frac{1}{22}$$

Փոխարինեք \frac{1}{22}-ը y-ով 5x-y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

Գումարեք \frac{1}{22} հավասարման երկու կողմին:

$$5x=\frac{45}{22}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{9}{22}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$