Լուծեք {c}{-2x+7y=10}{3x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 7 y = 10 } \\ { 3 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y=\frac{34}{35}\approx 0.971428571$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-2x+7y=10$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-7y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -7y+10:

$$x=\frac{7}{2}y-5$$

Փոխարինեք \frac{7y}{2}-5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+7y=2:

$$3\left(\frac{7}{2}y-5\right)+7y=2$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{7y}{2}-5:

$$\frac{21}{2}y-15+7y=2$$

Գումարեք \frac{21y}{2} 7y-ին:

$$\frac{35}{2}y-15=2$$

Գումարեք 15 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{35}{2}y=17$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{35}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{34}{35}$$

Փոխարինեք \frac{34}{35}-ը y-ով x=\frac{7}{2}y-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{34}{35}-5$$

Բազմապատկեք \frac{7}{2} անգամ \frac{34}{35}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{17}{5}-5$$

Գումարեք -5 \frac{17}{5}-ին:

$$x=-\frac{8}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}\\-\frac{3}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{2}{-2\times 7-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{35}&\frac{2}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{35}\times 10+\frac{2}{35}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{34}{35}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

Հանեք 3x+7y=2 -2x+7y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x-3x+7y-7y=10-2$$

Գումարեք 7y -7y-ին: 7y-ը և -7y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2x-3x=10-2$$

Գումարեք -2x -3x-ին:

$$-5x=10-2$$

Գումարեք 10 -2-ին:

$$-5x=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-\frac{8}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{8}{5}-ը x-ով 3x+7y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$3\left(-\frac{8}{5}\right)+7y=2$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{8}{5}:

$$-\frac{24}{5}+7y=2$$

Գումարեք \frac{24}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$7y=\frac{34}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=\frac{34}{35}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$