Լուծեք {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+y=4$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -y+4:

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{y}{6}+\frac{2}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-4y=19:

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

Գումարեք -\frac{y}{6} -4y-ին:

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

Հանեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{25}{6}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{22}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{22}{5}-ը y-ով x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{6} անգամ -\frac{22}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Գումարեք \frac{2}{3} \frac{11}{15}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{7}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+y=4,x-4y=19$$

6x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

Պարզեցնել:

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

Հանեք 6x-24y=114 6x+y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y+24y=4-114$$

Գումարեք y 24y-ին:

$$25y=4-114$$

Գումարեք 4 -114-ին:

$$25y=-110$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$y=-\frac{22}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{22}{5}-ը y-ով x-4y=19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -\frac{22}{5}:

$$x+\frac{88}{5}=19$$

Հանեք \frac{88}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{7}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$