Լուծեք {l}{y=2x+1}{5y-7x=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { 5 y - 7 x = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=2$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$y-2x=1$$

Գումարեք 2x հավասարման երկու կողմին:

$$y=2x+1$$

Փոխարինեք 2x+1-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5y-7x=11:

$$5\left(2x+1\right)-7x=11$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 2x+1:

$$10x+5-7x=11$$

Գումարեք 10x -7x-ին:

$$3x+5=11$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով y=2x+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=2\times 2+1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$y=4+1$$

Գումարեք 1 4-ին:

$$y=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=5,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{-7-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{-7-\left(-2\times 5\right)}&\frac{1}{-7-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}\times 11\\-\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=5,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$y-2x=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

y-ը և 5y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$5y+5\left(-2\right)x=5,5y-7x=11$$

Պարզեցնել:

$$5y-10x=5,5y-7x=11$$

Հանեք 5y-7x=11 5y-10x=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5y-5y-10x+7x=5-11$$

Գումարեք 5y -5y-ին: 5y-ը և -5y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-10x+7x=5-11$$

Գումարեք -10x 7x-ին:

$$-3x=5-11$$

Գումարեք 5 -11-ին:

$$-3x=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով 5y-7x=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$5y-7\times 2=11$$

Բազմապատկեք -7 անգամ 2:

$$5y-14=11$$

Գումարեք 14 հավասարման երկու կողմին:

$$5y=25$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=5,x=2$$