Լուծեք {l}{x-2y=-6}{6x+8y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 8 y = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1.9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-2y=-6$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$x=2y-6$$

Փոխարինեք -6+2y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x+8y=2:

$$6\left(2y-6\right)+8y=2$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -6+2y:

$$12y-36+8y=2$$

Գումարեք 12y 8y-ին:

$$20y-36=2$$

Գումարեք 36 հավասարման երկու կողմին:

$$20y=38$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$y=\frac{19}{10}$$

Փոխարինեք \frac{19}{10}-ը y-ով x=2y-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=2\times \frac{19}{10}-6$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{19}{10}:

$$x=\frac{19}{5}-6$$

Գումարեք -6 \frac{19}{5}-ին:

$$x=-\frac{11}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{8-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{8-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{8-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{20}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+8y=2$$

Պարզեցնել:

$$6x-12y=-36,6x+8y=2$$

Հանեք 6x+8y=2 6x-12y=-36-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x-12y-8y=-36-2$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y-8y=-36-2$$

Գումարեք -12y -8y-ին:

$$-20y=-36-2$$

Գումարեք -36 -2-ին:

$$-20y=-38$$

Բաժանեք երկու կողմերը -20-ի:

$$y=\frac{19}{10}$$

Փոխարինեք \frac{19}{10}-ը y-ով 6x+8y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x+8\times \frac{19}{10}=2$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{19}{10}:

$$6x+\frac{76}{5}=2$$

Հանեք \frac{76}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-\frac{66}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=-\frac{11}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$