Լուծեք {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 1-2x-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y 1-y-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Դիտարկեք \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Ընդարձակեք \left(\sqrt{2}x\right)^{2}:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} թվի քառակուսին 2 է:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Հանեք y^{2} երկու կողմերից:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Համակցեք y^{2} և -y^{2} և ստացեք 0:

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Հավելել 2x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Համակցեք -2x^{2} և 2x^{2} և ստացեք 0:

$$x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 16-ով:

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}:

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 16 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}-ով բազմապատկելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Բազմապատկեք 16 և 16-ով և ստացեք 256:

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Գումարեք -1 և 256 և ստացեք 255:

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Գումարեք 255 և 1 և ստացեք 256:

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 16 2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 32y+48-ը 3-2y-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Հավելել 64y^{2}-ը երկու կողմերում:

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Համակցեք -64y^{2} և 64y^{2} և ստացեք 0:

$$32x+16y+256=144$$

Հանեք 256 երկու կողմերից:

$$32x+16y=144-256$$

Հանեք 256 144-ից և ստացեք -112:

$$32x+16y=-112$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-y=3$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$x=y+3$$

Փոխարինեք y+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 32x+16y=-112:

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

Բազմապատկեք 32 անգամ y+3:

$$32y+96+16y=-112$$

Գումարեք 32y 16y-ին:

$$48y+96=-112$$

Հանեք 96 հավասարման երկու կողմից:

$$48y=-208$$

Բաժանեք երկու կողմերը 48-ի:

$$y=-\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{13}{3}-ը y-ով x=y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

Գումարեք 3 -\frac{13}{3}-ին:

$$x=-\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 1-2x-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y 1-y-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Դիտարկեք \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Ընդարձակեք \left(\sqrt{2}x\right)^{2}:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} թվի քառակուսին 2 է:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Հանեք y^{2} երկու կողմերից:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Համակցեք y^{2} և -y^{2} և ստացեք 0:

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Հավելել 2x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Համակցեք -2x^{2} և 2x^{2} և ստացեք 0:

$$x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 16-ով:

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}:

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 16 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}-ով բազմապատկելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Բազմապատկեք 16 և 16-ով և ստացեք 256:

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Գումարեք -1 և 256 և ստացեք 255:

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Գումարեք 255 և 1 և ստացեք 256:

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 16 2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 32y+48-ը 3-2y-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Հավելել 64y^{2}-ը երկու կողմերում:

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Համակցեք -64y^{2} և 64y^{2} և ստացեք 0:

$$32x+16y+256=144$$

Հանեք 256 երկու կողմերից:

$$32x+16y=144-256$$

Հանեք 256 144-ից և ստացեք -112:

$$32x+16y=-112$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ x 1-2x-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ y 1-y-ով բազմապատկելու համար:

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Դիտարկեք \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Ընդարձակեք \left(\sqrt{2}x\right)^{2}:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} թվի քառակուսին 2 է:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Հանեք y^{2} երկու կողմերից:

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Համակցեք y^{2} և -y^{2} և ստացեք 0:

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Հավելել 2x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Համակցեք -2x^{2} և 2x^{2} և ստացեք 0:

$$x-y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 16-ով:

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}:

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 16 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}-ով բազմապատկելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Բազմապատկեք 16 և 16-ով և ստացեք 256:

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Գումարեք -1 և 256 և ստացեք 255:

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Գումարեք 255 և 1 և ստացեք 256:

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 16 2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 32y+48-ը 3-2y-ով բազմապատկելու և նման պայմանները համակցելու համար:

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Հավելել 64y^{2}-ը երկու կողմերում:

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Համակցեք -64y^{2} և 64y^{2} և ստացեք 0:

$$32x+16y+256=144$$

Հանեք 256 երկու կողմերից:

$$32x+16y=144-256$$

Հանեք 256 144-ից և ստացեք -112:

$$32x+16y=-112$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

x-ը և 32x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 32-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

Պարզեցնել:

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

Հանեք 32x+16y=-112 32x-32y=96-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

Գումարեք 32x -32x-ին: 32x-ը և -32x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-32y-16y=96+112$$

Գումարեք -32y -16y-ին:

$$-48y=96+112$$

Գումարեք 96 112-ին:

$$-48y=208$$

Բաժանեք երկու կողմերը -48-ի:

$$y=-\frac{13}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{13}{3}-ը y-ով 32x+16y=-112-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

Բազմապատկեք 16 անգամ -\frac{13}{3}:

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

Գումարեք \frac{208}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$32x=-\frac{128}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 32-ի:

$$x=-\frac{4}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$