Լուծեք {l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-3y=4$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$x=3y+4$$

Փոխարինեք 3y+4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}:

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 3y+4:

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} y-ին:

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{4}{3}-ը y-ով x=3y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{4}{3}:

$$x=4+4$$

Գումարեք 4 4-ին:

$$x=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 3y երկու կողմերից:

$$x-3y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{1}{2}x երկու կողմերից:

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

x-ը և -\frac{x}{2}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -\frac{1}{2}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

Հանեք -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Գումարեք -\frac{x}{2} \frac{x}{2}-ին: -\frac{x}{2}-ը և \frac{x}{2}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

Գումարեք \frac{3y}{2} -y-ին:

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

Գումարեք -2 \frac{8}{3}-ին:

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$y=\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{4}{3}-ը y-ով -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Հանեք \frac{4}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$x=8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$