Լուծեք {l}{x+y=27}{7x-3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=9$$

$$y=18$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=27,7x-3y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=27$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+27$$

Փոխարինեք -y+27-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x-3y=9:

$$7\left(-y+27\right)-3y=9$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -y+27:

$$-7y+189-3y=9$$

Գումարեք -7y -3y-ին:

$$-10y+189=9$$

Հանեք 189 հավասարման երկու կողմից:

$$-10y=-180$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$y=18$$

Փոխարինեք 18-ը y-ով x=-y+27-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-18+27$$

Գումարեք 27 -18-ին:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=18$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=27,7x-3y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-7}&-\frac{1}{-3-7}\\-\frac{7}{-3-7}&\frac{1}{-3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{7}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 27+\frac{1}{10}\times 9\\\frac{7}{10}\times 27-\frac{1}{10}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=9,y=18$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=27,7x-3y=9$$

x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$7x+7y=7\times 27,7x-3y=9$$

Պարզեցնել:

$$7x+7y=189,7x-3y=9$$

Հանեք 7x-3y=9 7x+7y=189-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$7x-7x+7y+3y=189-9$$

Գումարեք 7x -7x-ին: 7x-ը և -7x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7y+3y=189-9$$

Գումարեք 7y 3y-ին:

$$10y=189-9$$

Գումարեք 189 -9-ին:

$$10y=180$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=18$$

Փոխարինեք 18-ը y-ով 7x-3y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x-3\times 18=9$$

Բազմապատկեք -3 անգամ 18:

$$7x-54=9$$

Գումարեք 54 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=63$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=18$$