Լուծեք {l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

Գումարեք ry հավասարման երկու կողմին:

$$rx=ry+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը r-ի:

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{r} անգամ ry+1:

$$x=y+\frac{1}{r}$$

Փոխարինեք y+\frac{1}{r}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ rx-9y=r:

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

Բազմապատկեք r անգամ y+\frac{1}{r}:

$$ry+1-9y=r$$

Գումարեք ry -9y-ին:

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը r-9-ի:

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

Փոխարինեք \frac{r-1}{r-9}-ը y-ով x=y+\frac{1}{r}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

Գումարեք \frac{1}{r} \frac{r-1}{r-9}-ին:

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

Հանեք rx-9y=r rx+\left(-r\right)y=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Գումարեք rx -rx-ին: rx-ը և -rx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

Գումարեք -ry 9y-ին:

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

Բաժանեք երկու կողմերը -r+9-ի:

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

Փոխարինեք \frac{1-r}{-r+9}-ը y-ով rx-9y=r-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

Բազմապատկեք -9 անգամ \frac{1-r}{-r+9}:

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

Գումարեք \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} հավասարման երկու կողմին:

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

Բաժանեք երկու կողմերը r-ի:

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$