Լուծեք {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Գումարեք by հավասարման երկու կողմին:

$$ax=by-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը a-ի:

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{a} անգամ by-8:

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Փոխարինեք \frac{by-8}{a}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ bx+ay+1=0:

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Բազմապատկեք b անգամ \frac{by-8}{a}:

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Գումարեք \frac{b^{2}y}{a} ay-ին:

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Գումարեք -\frac{8b}{a} 1-ին:

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Հանեք \frac{a-8b}{a} հավասարման երկու կողմից:

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը a+\frac{b^{2}}{a}-ի:

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Փոխարինեք \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-ը y-ով x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Բազմապատկեք \frac{b}{a} անգամ \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}:

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Գումարեք -\frac{8}{a} \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-ին:

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax-ը և bx-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները b-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ a-ով:

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Պարզեցնել:

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Հանեք abx+a^{2}y+a=0 abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Գումարեք bax -bax-ին: bax-ը և -bax-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Գումարեք -b^{2}y -a^{2}y-ին:

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Հանեք 8b-a հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Բաժանեք երկու կողմերը -b^{2}-a^{2}-ի:

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Փոխարինեք -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}-ը y-ով bx+ay+1=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Բազմապատկեք a անգամ -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}:

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Գումարեք -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} 1-ին:

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Հանեք \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} հավասարման երկու կողմից:

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Բաժանեք երկու կողմերը b-ի:

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$