Լուծեք {l}{a+b=130}{-1.85a+1.4b=74}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 130 } \\ { - 1.85 a + 1.4 b = 74 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a = \frac{432}{13} = 33\frac{3}{13} \approx 33.230769231$$

$$b = \frac{1258}{13} = 96\frac{10}{13} \approx 96.769230769$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$a+b=130$$

Հանեք b հավասարման երկու կողմից:

$$a=-b+130$$

Փոխարինեք -b+130-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -1.85a+1.4b=74:

$$-1.85\left(-b+130\right)+1.4b=74$$

Բազմապատկեք -1.85 անգամ -b+130:

$$1.85b-240.5+1.4b=74$$

Գումարեք \frac{37b}{20} \frac{7b}{5}-ին:

$$3.25b-240.5=74$$

Գումարեք 240.5 հավասարման երկու կողմին:

$$3.25b=314.5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 3.25-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=\frac{1258}{13}$$

Փոխարինեք \frac{1258}{13}-ը b-ով a=-b+130-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{1258}{13}+130$$

Գումարեք 130 -\frac{1258}{13}-ին:

$$a=\frac{432}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.4}{1.4-\left(-1.85\right)}&-\frac{1}{1.4-\left(-1.85\right)}\\-\frac{-1.85}{1.4-\left(-1.85\right)}&\frac{1}{1.4-\left(-1.85\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{65}&-\frac{4}{13}\\\frac{37}{65}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{65}\times 130-\frac{4}{13}\times 74\\\frac{37}{65}\times 130+\frac{4}{13}\times 74\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{432}{13}\\\frac{1258}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

a-ը և -\frac{37a}{20}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1.85-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-1.85a-1.85b=-1.85\times 130,-1.85a+1.4b=74$$

Պարզեցնել:

$$-1.85a-1.85b=-240.5,-1.85a+1.4b=74$$

Հանեք -1.85a+1.4b=74 -1.85a-1.85b=-240.5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-1.85a+1.85a-1.85b-1.4b=-240.5-74$$

Գումարեք -\frac{37a}{20} \frac{37a}{20}-ին: -\frac{37a}{20}-ը և \frac{37a}{20}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-1.85b-1.4b=-240.5-74$$

Գումարեք -\frac{37b}{20} -\frac{7b}{5}-ին:

$$-3.25b=-240.5-74$$

Գումարեք -240.5 -74-ին:

$$-3.25b=-314.5$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -3.25-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=\frac{1258}{13}$$

Փոխարինեք \frac{1258}{13}-ը b-ով -1.85a+1.4b=74-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$-1.85a+1.4\times \frac{1258}{13}=74$$

Բազմապատկեք 1.4 անգամ \frac{1258}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$-1.85a+\frac{8806}{65}=74$$

Հանեք \frac{8806}{65} հավասարման երկու կողմից:

$$-1.85a=-\frac{3996}{65}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -1.85-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$a=\frac{432}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$