Լուծեք {l}{a+b=10}{a-b=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 10 } \\ { a - b = 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=15$$

$$b=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$a+b=10,a-b=20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$a+b=10$$

Հանեք b հավասարման երկու կողմից:

$$a=-b+10$$

Փոխարինեք -b+10-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ a-b=20:

$$-b+10-b=20$$

Գումարեք -b -b-ին:

$$-2b+10=20$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$-2b=10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$b=-5$$

Փոխարինեք -5-ը b-ով a=-b+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\left(-5\right)+10$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -5:

$$a=5+10$$

Գումարեք 10 5-ին:

$$a=15$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=15,b=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$a+b=10,a-b=20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{2}\times 20\\\frac{1}{2}\times 10-\frac{1}{2}\times 20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=15,b=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$a+b=10,a-b=20$$

Հանեք a-b=20 a+b=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$a-a+b+b=10-20$$

Գումարեք a -a-ին: a-ը և -a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$b+b=10-20$$

Գումարեք b b-ին:

$$2b=10-20$$

Գումարեք 10 -20-ին:

$$2b=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$b=-5$$

Փոխարինեք -5-ը b-ով a-b=20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a-\left(-5\right)=20$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -5:

$$a+5=20$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$a=15$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=15,b=-5$$