Լուծեք {l}{9m-2n=3}{4n+m=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 2 n = 3 } \\ { 4 n + m = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

$$n=-\frac{6}{19}\approx -0.315789474$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$9m-2n=3$$

Գումարեք 2n հավասարման երկու կողմին:

$$9m=2n+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$m=\frac{1}{9}\left(2n+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ 2n+3:

$$m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2n}{9}+\frac{1}{3}-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ m+4n=-1:

$$\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}+4n=-1$$

Գումարեք \frac{2n}{9} 4n-ին:

$$\frac{38}{9}n+\frac{1}{3}=-1$$

Հանեք \frac{1}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{38}{9}n=-\frac{4}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{38}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$n=-\frac{6}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{6}{19}-ը n-ով m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{19}\right)+\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{9} անգամ -\frac{6}{19}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$m=-\frac{4}{57}+\frac{1}{3}$$

Գումարեք \frac{1}{3} -\frac{4}{57}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$m=\frac{5}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{9\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-2\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{1}{38}&\frac{9}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{1}{19}\left(-1\right)\\-\frac{1}{38}\times 3+\frac{9}{38}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\\-\frac{6}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

9m-ը և m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 9-ով:

$$9m-2n=3,9m+9\times 4n=9\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$9m-2n=3,9m+36n=-9$$

Հանեք 9m+36n=-9 9m-2n=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$9m-9m-2n-36n=3+9$$

Գումարեք 9m -9m-ին: 9m-ը և -9m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2n-36n=3+9$$

Գումարեք -2n -36n-ին:

$$-38n=3+9$$

Գումարեք 3 9-ին:

$$-38n=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -38-ի:

$$n=-\frac{6}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{6}{19}-ը n-ով m+4n=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m+4\left(-\frac{6}{19}\right)=-1$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{6}{19}:

$$m-\frac{24}{19}=-1$$

Գումարեք \frac{24}{19} հավասարման երկու կողմին:

$$m=\frac{5}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$