Լուծեք {l}{8x+20y=11400}{10x+30y=22500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 11400 } \\ { 10 x + 30 y = 22500 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2700$$

$$y=1650$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$8x+20y=11400$$

Հանեք 20y հավասարման երկու կողմից:

$$8x=-20y+11400$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+11400\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ -20y+11400:

$$x=-\frac{5}{2}y+1425$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{2}+1425-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 10x+30y=22500:

$$10\left(-\frac{5}{2}y+1425\right)+30y=22500$$

Բազմապատկեք 10 անգամ -\frac{5y}{2}+1425:

$$-25y+14250+30y=22500$$

Գումարեք -25y 30y-ին:

$$5y+14250=22500$$

Հանեք 14250 հավասարման երկու կողմից:

$$5y=8250$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=1650$$

Փոխարինեք 1650-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y+1425-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\times 1650+1425$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ 1650:

$$x=-4125+1425$$

Գումարեք 1425 -4125-ին:

$$x=-2700$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2700,y=1650$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\10&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{8\times 30-20\times 10}&-\frac{20}{8\times 30-20\times 10}\\-\frac{10}{8\times 30-20\times 10}&\frac{8}{8\times 30-20\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11400\\22500\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 11400-\frac{1}{2}\times 22500\\-\frac{1}{4}\times 11400+\frac{1}{5}\times 22500\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2700\\1650\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2700,y=1650$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$8x+20y=11400,10x+30y=22500$$

8x-ը և 10x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 10-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 8-ով:

$$10\times 8x+10\times 20y=10\times 11400,8\times 10x+8\times 30y=8\times 22500$$

Պարզեցնել:

$$80x+200y=114000,80x+240y=180000$$

Հանեք 80x+240y=180000 80x+200y=114000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$80x-80x+200y-240y=114000-180000$$

Գումարեք 80x -80x-ին: 80x-ը և -80x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$200y-240y=114000-180000$$

Գումարեք 200y -240y-ին:

$$-40y=114000-180000$$

Գումարեք 114000 -180000-ին:

$$-40y=-66000$$

Բաժանեք երկու կողմերը -40-ի:

$$y=1650$$

Փոխարինեք 1650-ը y-ով 10x+30y=22500-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$10x+30\times 1650=22500$$

Բազմապատկեք 30 անգամ 1650:

$$10x+49500=22500$$

Հանեք 49500 հավասարման երկու կողմից:

$$10x=-27000$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=-2700$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2700,y=1650$$