Լուծեք {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

Լուծել k, a-ի համար

$$k=-500$$

$$a=7650$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն k-ի համար՝ առանձնացնելով k-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$8k+a=3650$$

Հանեք a հավասարման երկու կողմից:

$$8k=-a+3650$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{8} անգամ -a+3650:

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

Փոխարինեք -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}-ը k-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 15k+a=150:

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

Բազմապատկեք 15 անգամ -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}:

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

Գումարեք -\frac{15a}{8} a-ին:

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

Հանեք \frac{27375}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{8}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$a=7650$$

Փոխարինեք 7650-ը a-ով k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես k-ի համար:

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ 7650:

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

Գումարեք \frac{1825}{4} -\frac{3825}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$k=-500$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$k=-500,a=7650$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի k և a տարրերը:

$$k=-500,a=7650$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

Հանեք 15k+a=150 8k+a=3650-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

Գումարեք a -a-ին: a-ը և -a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8k-15k=3650-150$$

Գումարեք 8k -15k-ին:

$$-7k=3650-150$$

Գումարեք 3650 -150-ին:

$$-7k=3500$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$k=-500$$

Փոխարինեք -500-ը k-ով 15k+a=150-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$15\left(-500\right)+a=150$$

Բազմապատկեք 15 անգամ -500:

$$-7500+a=150$$

Գումարեք 7500 հավասարման երկու կողմին:

$$a=7650$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$k=-500,a=7650$$