Լուծեք {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$78x+40y=1280$$

Հանեք 40y հավասարման երկու կողմից:

$$78x=-40y+1280$$

Բաժանեք երկու կողմերը 78-ի:

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{78} անգամ -40y+1280:

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

Փոխարինեք \frac{-20y+640}{39}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 120x+80y=2800:

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

Բազմապատկեք 120 անգամ \frac{-20y+640}{39}:

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

Գումարեք -\frac{800y}{13} 80y-ին:

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

Հանեք \frac{25600}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{240}{13}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=45$$

Փոխարինեք 45-ը y-ով x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

Բազմապատկեք -\frac{20}{39} անգամ 45:

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

Գումարեք \frac{640}{39} -\frac{300}{13}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{20}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

78x-ը և 120x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 120-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 78-ով:

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

Պարզեցնել:

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

Հանեք 9360x+6240y=218400 9360x+4800y=153600-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

Գումարեք 9360x -9360x-ին: 9360x-ը և -9360x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4800y-6240y=153600-218400$$

Գումարեք 4800y -6240y-ին:

$$-1440y=153600-218400$$

Գումարեք 153600 -218400-ին:

$$-1440y=-64800$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1440-ի:

$$y=45$$

Փոխարինեք 45-ը y-ով 120x+80y=2800-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$120x+80\times 45=2800$$

Բազմապատկեք 80 անգամ 45:

$$120x+3600=2800$$

Հանեք 3600 հավասարման երկու կողմից:

$$120x=-800$$

Բաժանեք երկու կողմերը 120-ի:

$$x=-\frac{20}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$