Լուծեք {l}{6x+2y=130}{3x+4y=130}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 130 } \\ { 3 x + 4 y = 130 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{130}{9} = 14\frac{4}{9} \approx 14.444444444$$

$$y = \frac{65}{3} = 21\frac{2}{3} \approx 21.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+2y=130$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-2y+130$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+130\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -2y+130:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y+65}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+4y=130:

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3}\right)+4y=130$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-y+65}{3}:

$$-y+65+4y=130$$

Գումարեք -y 4y-ին:

$$3y+65=130$$

Հանեք 65 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=65$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=\frac{65}{3}$$

Փոխարինեք \frac{65}{3}-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{65}{3}+\frac{65}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ \frac{65}{3}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{65}{9}+\frac{65}{3}$$

Գումարեք \frac{65}{3} -\frac{65}{9}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{130}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{6\times 4-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 4-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 4-2\times 3}&\frac{6}{6\times 4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 130-\frac{1}{9}\times 130\\-\frac{1}{6}\times 130+\frac{1}{3}\times 130\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{9}\\\frac{65}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

6x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 130,6\times 3x+6\times 4y=6\times 130$$

Պարզեցնել:

$$18x+6y=390,18x+24y=780$$

Հանեք 18x+24y=780 18x+6y=390-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$18x-18x+6y-24y=390-780$$

Գումարեք 18x -18x-ին: 18x-ը և -18x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y-24y=390-780$$

Գումարեք 6y -24y-ին:

$$-18y=390-780$$

Գումարեք 390 -780-ին:

$$-18y=-390$$

Բաժանեք երկու կողմերը -18-ի:

$$y=\frac{65}{3}$$

Փոխարինեք \frac{65}{3}-ը y-ով 3x+4y=130-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+4\times \frac{65}{3}=130$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{65}{3}:

$$3x+\frac{260}{3}=130$$

Հանեք \frac{260}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{130}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{130}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$