Լուծեք {l}{5y+2x=5}{y+2x=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y + 2 x = 5 } \\ { y + 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5y+2x=5$$

Հանեք 2x հավասարման երկու կողմից:

$$5y=-2x+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{1}{5}\left(-2x+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -2x+5:

$$y=-\frac{2}{5}x+1$$

Փոխարինեք -\frac{2x}{5}+1-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ y+2x=5:

$$-\frac{2}{5}x+1+2x=5$$

Գումարեք -\frac{2x}{5} 2x-ին:

$$\frac{8}{5}x+1=5$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{8}{5}x=4$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{8}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5}{2}-ը x-ով y=-\frac{2}{5}x+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{2}{5}\times \frac{5}{2}+1$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{5} անգամ \frac{5}{2}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=-1+1$$

Գումարեք 1 -1-ին:

$$y=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2}&-\frac{2}{5\times 2-2}\\-\frac{1}{5\times 2-2}&\frac{5}{5\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{5}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5y+2x=5,y+2x=5$$

Հանեք y+2x=5 5y+2x=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5y-y+2x-2x=5-5$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5y-y=5-5$$

Գումարեք 5y -y-ին:

$$4y=5-5$$

Գումարեք 5 -5-ին:

$$4y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=0$$

Փոխարինեք 0-ը y-ով y+2x=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=0,x=\frac{5}{2}$$