Լուծեք {l}{5x+2y=24}{y=x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 24 } \\ { y = x - 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+2y=24$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-2y+24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+24\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -2y+24:

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+24}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+y=-2:

$$-\left(-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}\right)+y=-2$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{-2y+24}{5}:

$$\frac{2}{5}y-\frac{24}{5}+y=-2$$

Գումարեք \frac{2y}{5} y-ին:

$$\frac{7}{5}y-\frac{24}{5}=-2$$

Գումարեք \frac{24}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{7}{5}y=\frac{14}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{24}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{5} անգամ 2:

$$x=\frac{-4+24}{5}$$

Գումարեք \frac{24}{5} -\frac{4}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-2\left(-1\right)}&\frac{5}{5-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 24-\frac{2}{7}\left(-2\right)\\\frac{1}{7}\times 24+\frac{5}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք x երկու կողմերից:

$$y-x=-2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

5x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-5x-2y=-24,5\left(-1\right)x+5y=5\left(-2\right)$$

Պարզեցնել:

$$-5x-2y=-24,-5x+5y=-10$$

Հանեք -5x+5y=-10 -5x-2y=-24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-5x+5x-2y-5y=-24+10$$

Գումարեք -5x 5x-ին: -5x-ը և 5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-5y=-24+10$$

Գումարեք -2y -5y-ին:

$$-7y=-24+10$$

Գումարեք -24 10-ին:

$$-7y=-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -x+y=-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+2=-2$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=2$$