Լուծեք {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Լուծել k, b-ի համար

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$112k+b=44$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$82k+b=16$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն k-ի համար՝ առանձնացնելով k-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$112k+b=44$$

Հանեք b հավասարման երկու կողմից:

$$112k=-b+44$$

Բաժանեք երկու կողմերը 112-ի:

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{112} անգամ -b+44:

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

Փոխարինեք -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}-ը k-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 82k+b=16:

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

Բազմապատկեք 82 անգամ -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}:

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

Գումարեք -\frac{41b}{56} b-ին:

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

Հանեք \frac{451}{14} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{15}{56}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=-\frac{908}{15}$$

Փոխարինեք -\frac{908}{15}-ը b-ով k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես k-ի համար:

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{112} անգամ -\frac{908}{15}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

Գումարեք \frac{11}{28} \frac{227}{420}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$k=\frac{14}{15}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$112k+b=44$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$82k+b=16$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի k և b տարրերը:

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$112k+b=44$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$82k+b=16$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Հանեք 82k+b=16 112k+b=44-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$112k-82k+b-b=44-16$$

Գումարեք b -b-ին: b-ը և -b-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$112k-82k=44-16$$

Գումարեք 112k -82k-ին:

$$30k=44-16$$

Գումարեք 44 -16-ին:

$$30k=28$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$k=\frac{14}{15}$$

Փոխարինեք \frac{14}{15}-ը k-ով 82k+b=16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես b-ի համար:

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

Բազմապատկեք 82 անգամ \frac{14}{15}:

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

Հանեք \frac{1148}{15} հավասարման երկու կողմից:

$$b=-\frac{908}{15}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$