Լուծեք {l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=0.1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$40x+720y=112$$

Հանեք 720y հավասարման երկու կողմից:

$$40x=-720y+112$$

Բաժանեք երկու կողմերը 40-ի:

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{40} անգամ -720y+112:

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

Փոխարինեք -18y+\frac{14}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 120x+2205y=340.5:

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

Բազմապատկեք 120 անգամ -18y+\frac{14}{5}:

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

Գումարեք -2160y 2205y-ին:

$$45y+336=340.5$$

Հանեք 336 հավասարման երկու կողմից:

$$45y=4.5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 45-ի:

$$y=0.1$$

Փոխարինեք 0.1-ը y-ով x=-18y+\frac{14}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

Բազմապատկեք -18 անգամ 0.1:

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

Գումարեք \frac{14}{5} -1.8-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=0.1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

40x-ը և 120x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 120-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 40-ով:

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

Պարզեցնել:

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

Հանեք 4800x+88200y=13620 4800x+86400y=13440-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

Գումարեք 4800x -4800x-ին: 4800x-ը և -4800x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$86400y-88200y=13440-13620$$

Գումարեք 86400y -88200y-ին:

$$-1800y=13440-13620$$

Գումարեք 13440 -13620-ին:

$$-1800y=-180$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1800-ի:

$$y=\frac{1}{10}$$

Փոխարինեք \frac{1}{10}-ը y-ով 120x+2205y=340.5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

Բազմապատկեք 2205 անգամ \frac{1}{10}:

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

Հանեք \frac{441}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$120x=120$$

Բաժանեք երկու կողմերը 120-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$