Լուծեք {l}{4x-2y=8}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-2y=8$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=2y+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 8+2y:

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+3y=-1:

$$5\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=-1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{y}{2}+2:

$$\frac{5}{2}y+10+3y=-1$$

Գումարեք \frac{5y}{2} 3y-ին:

$$\frac{11}{2}y+10=-1$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{11}{2}y=-11$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -2:

$$x=-1+2$$

Գումարեք 2 -1-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 8+\frac{1}{11}\left(-1\right)\\-\frac{5}{22}\times 8+\frac{2}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

4x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$5\times 4x+5\left(-2\right)y=5\times 8,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$20x-10y=40,20x+12y=-4$$

Հանեք 20x+12y=-4 20x-10y=40-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$20x-20x-10y-12y=40+4$$

Գումարեք 20x -20x-ին: 20x-ը և -20x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-10y-12y=40+4$$

Գումարեք -10y -12y-ին:

$$-22y=40+4$$

Գումարեք 40 4-ին:

$$-22y=44$$

Բաժանեք երկու կողմերը -22-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով 5x+3y=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+3\left(-2\right)=-1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -2:

$$5x-6=-1$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-2$$