Լուծեք {l}{4x+y=5}{3x+7y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 3 x + 7 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+y=5$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -y+5:

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-y+5}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+7y=10:

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+7y=10$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-y+5}{4}:

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}+7y=10$$

Գումարեք -\frac{3y}{4} 7y-ին:

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{4}=10$$

Հանեք \frac{15}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{25}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{-1+5}{4}$$

Գումարեք \frac{5}{4} -\frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-3}&-\frac{1}{4\times 7-3}\\-\frac{3}{4\times 7-3}&\frac{4}{4\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}\times 5-\frac{1}{25}\times 10\\-\frac{3}{25}\times 5+\frac{4}{25}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

4x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4x+3y=3\times 5,4\times 3x+4\times 7y=4\times 10$$

Պարզեցնել:

$$12x+3y=15,12x+28y=40$$

Հանեք 12x+28y=40 12x+3y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+3y-28y=15-40$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y-28y=15-40$$

Գումարեք 3y -28y-ին:

$$-25y=15-40$$

Գումարեք 15 -40-ին:

$$-25y=-25$$

Բաժանեք երկու կողմերը -25-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 3x+7y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+7=10$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$3x=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$