Լուծեք {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{31}{9}\approx 3,444444444$$

$$y=\frac{257}{45}\approx 5,711111111$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+2y=25,2$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-2y+25,2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25,2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -2y+25,2:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Փոխարինեք -\frac{y}{2}+\frac{63}{10}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+5y=32:

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Գումարեք -\frac{y}{2} 5y-ին:

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Հանեք \frac{63}{10} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{9}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{257}{45}$$

Փոխարինեք \frac{257}{45}-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ \frac{257}{45}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Գումարեք \frac{63}{10} -\frac{257}{90}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{31}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25,2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25,2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

4x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$4x+2y=25,2;4x+4\times 5y=4\times 32$$

Պարզեցնել:

$$4x+2y=25,2;4x+20y=128$$

Հանեք 4x+20y=128 4x+2y=25,2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x+2y-20y=25,2-128$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y-20y=25,2-128$$

Գումարեք 2y -20y-ին:

$$-18y=25,2-128$$

Գումարեք 25,2 -128-ին:

$$-18y=-102,8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -18-ի:

$$y=\frac{257}{45}$$

Փոխարինեք \frac{257}{45}-ը y-ով x+5y=32-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{257}{45}:

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Հանեք \frac{257}{9} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{31}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$