Լուծեք {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Համակցեք 4x և -3x և ստացեք x:

$$x+4y+3y=10$$

Համակցեք 4y և 3y և ստացեք 7y:

$$x+7y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y+3y=2$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+7y=10$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-7y+10$$

Փոխարինեք -7y+10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+5y=2:

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -7y+10:

$$7y-10+5y=2$$

Գումարեք 7y 5y-ին:

$$12y-10=2$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$12y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-7y+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-7+10$$

Գումարեք 10 -7-ին:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Համակցեք 4x և -3x և ստացեք x:

$$x+4y+3y=10$$

Համակցեք 4y և 3y և ստացեք 7y:

$$x+7y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y+3y=2$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Համակցեք 4x և -3x և ստացեք x:

$$x+4y+3y=10$$

Համակցեք 4y և 3y և ստացեք 7y:

$$x+7y=10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y+3y=2$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

Հանեք -x+5y=2 -x-7y=-10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

Գումարեք -x x-ին: -x-ը և x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-7y-5y=-10-2$$

Գումարեք -7y -5y-ին:

$$-12y=-10-2$$

Գումարեք -10 -2-ին:

$$-12y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -12-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով -x+5y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+5=2$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=1$$