Լուծեք {l}{3x+y=4}{7x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 4 } \\ { 7 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=4,7x-2y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=4$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y+4:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y+4}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x-2y=5:

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=5$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{-y+4}{3}:

$$-\frac{7}{3}y+\frac{28}{3}-2y=5$$

Գումարեք -\frac{7y}{3} -2y-ին:

$$-\frac{13}{3}y+\frac{28}{3}=5$$

Հանեք \frac{28}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{13}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{-1+4}{3}$$

Գումարեք \frac{4}{3} -\frac{1}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=4,7x-2y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\7&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-7}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-7}\\-\frac{7}{3\left(-2\right)-7}&\frac{3}{3\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{7}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{7}{13}\times 4-\frac{3}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=4,7x-2y=5$$

3x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$7\times 3x+7y=7\times 4,3\times 7x+3\left(-2\right)y=3\times 5$$

Պարզեցնել:

$$21x+7y=28,21x-6y=15$$

Հանեք 21x-6y=15 21x+7y=28-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$21x-21x+7y+6y=28-15$$

Գումարեք 21x -21x-ին: 21x-ը և -21x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7y+6y=28-15$$

Գումարեք 7y 6y-ին:

$$13y=28-15$$

Գումարեք 28 -15-ին:

$$13y=13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 7x-2y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x-2=5$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=1$$