Լուծեք {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=4$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Համակցեք 3x և -4x և ստացեք -x:

$$-x+3y+4y=-18$$

Համակցեք 3y և 4y և ստացեք 7y:

$$-x+7y=-18$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ \frac{1}{2} x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ \frac{1}{6} x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Համակցեք \frac{1}{2}x և \frac{1}{6}x և ստացեք \frac{2}{3}x:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Համակցեք \frac{1}{2}y և -\frac{1}{6}y և ստացեք \frac{1}{3}y:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x+7y=-18$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-7y-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -7y-18:

$$x=7y+18$$

Փոխարինեք 7y+18-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2:

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ 7y+18:

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

Գումարեք \frac{14y}{3} \frac{y}{3}-ին:

$$5y+12=2$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$5y=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=7y+18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=7\left(-2\right)+18$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -2:

$$x=-14+18$$

Գումարեք 18 -14-ին:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Համակցեք 3x և -4x և ստացեք -x:

$$-x+3y+4y=-18$$

Համակցեք 3y և 4y և ստացեք 7y:

$$-x+7y=-18$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ \frac{1}{2} x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ \frac{1}{6} x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Համակցեք \frac{1}{2}x և \frac{1}{6}x և ստացեք \frac{2}{3}x:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Համակցեք \frac{1}{2}y և -\frac{1}{6}y և ստացեք \frac{1}{3}y:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=4,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Համակցեք 3x և -4x և ստացեք -x:

$$-x+3y+4y=-18$$

Համակցեք 3y և 4y և ստացեք 7y:

$$-x+7y=-18$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ \frac{1}{2} x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ \frac{1}{6} x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Համակցեք \frac{1}{2}x և \frac{1}{6}x և ստացեք \frac{2}{3}x:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Համակցեք \frac{1}{2}y և -\frac{1}{6}y և ստացեք \frac{1}{3}y:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x-ը և \frac{2x}{3}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{2}{3}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Պարզեցնել:

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Հանեք -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Գումարեք -\frac{2x}{3} \frac{2x}{3}-ին: -\frac{2x}{3}-ը և \frac{2x}{3}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Գումարեք \frac{14y}{3} \frac{y}{3}-ին:

$$5y=-12+2$$

Գումարեք -12 2-ին:

$$5y=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2:

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

Գումարեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{2}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=4,y=-2$$