Լուծեք {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 2x+1:

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Բազմապատկեք -5 անգամ y-3:

$$6x+3-5y+15=1$$

Գումարեք 3 15-ին:

$$6x-5y+18=1$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$6x-5y=-17$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$6x=5y-17$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ 5y-17:

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

Փոխարինեք \frac{5y-17}{6}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3:

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{5y-17}{6}:

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Գումարեք \frac{17}{6} 1-ին:

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-5y+23}{6}:

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2y+1:

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

Գումարեք -\frac{25y}{6} -8y-ին:

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

Գումարեք \frac{115}{6} -4-ին:

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

Հանեք \frac{91}{6} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{73}{6}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5-17}{6}$$

Գումարեք -\frac{17}{6} \frac{5}{6}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Պարզեցրեք առաջին հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 2x+1:

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Բազմապատկեք -5 անգամ y-3:

$$6x+3-5y+15=1$$

Գումարեք 3 15-ին:

$$6x-5y+18=1$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$6x-5y=-17$$

Պարզեցրեք երկրորդ հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -x+1:

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2y+1:

$$-5x+5-8y-4=3$$

Գումարեք 5 -4-ին:

$$-5x-8y+1=3$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$-5x-8y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=1$$