Լուծեք {l}{28x+9y=492}{6x+25y=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 28 x + 9 y = 492 } \\ { 6 x + 25 y = 110 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{5655}{323} = 17\frac{164}{323} \approx 17.507739938$$

$$y=\frac{64}{323}\approx 0.198142415$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$28x+9y=492,6x+25y=110$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$28x+9y=492$$

Հանեք 9y հավասարման երկու կողմից:

$$28x=-9y+492$$

Բաժանեք երկու կողմերը 28-ի:

$$x=\frac{1}{28}\left(-9y+492\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{28} անգամ -9y+492:

$$x=-\frac{9}{28}y+\frac{123}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{9y}{28}+\frac{123}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 6x+25y=110:

$$6\left(-\frac{9}{28}y+\frac{123}{7}\right)+25y=110$$

Բազմապատկեք 6 անգամ -\frac{9y}{28}+\frac{123}{7}:

$$-\frac{27}{14}y+\frac{738}{7}+25y=110$$

Գումարեք -\frac{27y}{14} 25y-ին:

$$\frac{323}{14}y+\frac{738}{7}=110$$

Հանեք \frac{738}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{323}{14}y=\frac{32}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{323}{14}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{64}{323}$$

Փոխարինեք \frac{64}{323}-ը y-ով x=-\frac{9}{28}y+\frac{123}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{9}{28}\times \frac{64}{323}+\frac{123}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{9}{28} անգամ \frac{64}{323}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{144}{2261}+\frac{123}{7}$$

Գումարեք \frac{123}{7} -\frac{144}{2261}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{5655}{323}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5655}{323},y=\frac{64}{323}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$28x+9y=492,6x+25y=110$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}28&9\\6&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}492\\110\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}28&9\\6&25\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}28&9\\6&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28&9\\6&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}28&9\\6&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}492\\110\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}28&9\\6&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}492\\110\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}28&9\\6&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}492\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{28\times 25-9\times 6}&-\frac{9}{28\times 25-9\times 6}\\-\frac{6}{28\times 25-9\times 6}&\frac{28}{28\times 25-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}492\\110\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{646}&-\frac{9}{646}\\-\frac{3}{323}&\frac{14}{323}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}492\\110\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{646}\times 492-\frac{9}{646}\times 110\\-\frac{3}{323}\times 492+\frac{14}{323}\times 110\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5655}{323}\\\frac{64}{323}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{5655}{323},y=\frac{64}{323}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$28x+9y=492,6x+25y=110$$

28x-ը և 6x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 6-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 28-ով:

$$6\times 28x+6\times 9y=6\times 492,28\times 6x+28\times 25y=28\times 110$$

Պարզեցնել:

$$168x+54y=2952,168x+700y=3080$$

Հանեք 168x+700y=3080 168x+54y=2952-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$168x-168x+54y-700y=2952-3080$$

Գումարեք 168x -168x-ին: 168x-ը և -168x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$54y-700y=2952-3080$$

Գումարեք 54y -700y-ին:

$$-646y=2952-3080$$

Գումարեք 2952 -3080-ին:

$$-646y=-128$$

Բաժանեք երկու կողմերը -646-ի:

$$y=\frac{64}{323}$$

Փոխարինեք \frac{64}{323}-ը y-ով 6x+25y=110-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$6x+25\times \frac{64}{323}=110$$

Բազմապատկեք 25 անգամ \frac{64}{323}:

$$6x+\frac{1600}{323}=110$$

Հանեք \frac{1600}{323} հավասարման երկու կողմից:

$$6x=\frac{33930}{323}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{5655}{323}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5655}{323},y=\frac{64}{323}$$