Լուծեք {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$200x+300y=360$$

Հանեք 300y հավասարման երկու կողմից:

$$200x=-300y+360$$

Բաժանեք երկու կողմերը 200-ի:

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{200} անգամ -300y+360:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 300x+200y=340:

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

Բազմապատկեք 300 անգամ -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}:

$$-450y+540+200y=340$$

Գումարեք -450y 200y-ին:

$$-250y+540=340$$

Հանեք 540 հավասարման երկու կողմից:

$$-250y=-200$$

Բաժանեք երկու կողմերը -250-ի:

$$y=\frac{4}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4}{5}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{4}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

Գումարեք \frac{9}{5} -\frac{6}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x-ը և 300x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 300-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 200-ով:

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

Պարզեցնել:

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

Հանեք 60000x+40000y=68000 60000x+90000y=108000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

Գումարեք 60000x -60000x-ին: 60000x-ը և -60000x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$90000y-40000y=108000-68000$$

Գումարեք 90000y -40000y-ին:

$$50000y=108000-68000$$

Գումարեք 108000 -68000-ին:

$$50000y=40000$$

Բաժանեք երկու կողմերը 50000-ի:

$$y=\frac{4}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4}{5}-ը y-ով 300x+200y=340-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

Բազմապատկեք 200 անգամ \frac{4}{5}:

$$300x+160=340$$

Հանեք 160 հավասարման երկու կողմից:

$$300x=180$$

Բաժանեք երկու կողմերը 300-ի:

$$x=\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$