Լուծեք {l}{2x-5y=5}{(x+y)*1/2=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 5 } \\ { ( x + y ) \cdot \frac { 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{85}{7} = 12\frac{1}{7} \approx 12.142857143$$

$$y = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով՝ \frac{1}{2}-ի հակադարձ մեծությունով:

$$x+y=8\times 2$$

Բազմապատկեք 8 և 2-ով և ստացեք 16:

$$x+y=16$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-5y=5,x+y=16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-5y=5$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=5y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 5+5y:

$$x=\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5+5y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=16:

$$\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}+y=16$$

Գումարեք \frac{5y}{2} y-ին:

$$\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}=16$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7}{2}y=\frac{27}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{27}{7}$$

Փոխարինեք \frac{27}{7}-ը y-ով x=\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{27}{7}+\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{5}{2} անգամ \frac{27}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{135}{14}+\frac{5}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} \frac{135}{14}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{85}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{85}{7},y=\frac{27}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով՝ \frac{1}{2}-ի հակադարձ մեծությունով:

$$x+y=8\times 2$$

Բազմապատկեք 8 և 2-ով և ստացեք 16:

$$x+y=16$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-5y=5,x+y=16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-5\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{5}{7}\times 16\\-\frac{1}{7}\times 5+\frac{2}{7}\times 16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{7}\\\frac{27}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{85}{7},y=\frac{27}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով՝ \frac{1}{2}-ի հակադարձ մեծությունով:

$$x+y=8\times 2$$

Բազմապատկեք 8 և 2-ով և ստացեք 16:

$$x+y=16$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-5y=5,x+y=16$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x-5y=5,2x+2y=2\times 16$$

Պարզեցնել:

$$2x-5y=5,2x+2y=32$$

Հանեք 2x+2y=32 2x-5y=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-5y-2y=5-32$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5y-2y=5-32$$

Գումարեք -5y -2y-ին:

$$-7y=5-32$$

Գումարեք 5 -32-ին:

$$-7y=-27$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=\frac{27}{7}$$

Փոխարինեք \frac{27}{7}-ը y-ով x+y=16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+\frac{27}{7}=16$$

Հանեք \frac{27}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{85}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{85}{7},y=\frac{27}{7}$$