Լուծեք {l}{2x-5y=4}{x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-5y=4$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=5y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 5y+4:

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

Փոխարինեք \frac{5y}{2}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+5y=1:

$$\frac{5}{2}y+2+5y=1$$

Գումարեք \frac{5y}{2} 5y-ին:

$$\frac{15}{2}y+2=1$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{15}{2}y=-1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{15}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{2}{15}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{15}-ը y-ով x=\frac{5}{2}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{15}\right)+2$$

Բազմապատկեք \frac{5}{2} անգամ -\frac{2}{15}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{1}{3}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{1}{3}-ին:

$$x=\frac{5}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2\times 5-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2\times 5-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\-\frac{1}{15}\times 4+\frac{2}{15}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-5y=4,x+5y=1$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x-5y=4,2x+2\times 5y=2$$

Պարզեցնել:

$$2x-5y=4,2x+10y=2$$

Հանեք 2x+10y=2 2x-5y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-5y-10y=4-2$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5y-10y=4-2$$

Գումարեք -5y -10y-ին:

$$-15y=4-2$$

Գումարեք 4 -2-ին:

$$-15y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=-\frac{2}{15}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{15}-ը y-ով x+5y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+5\left(-\frac{2}{15}\right)=1$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{2}{15}:

$$x-\frac{2}{3}=1$$

Գումարեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{5}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{2}{15}$$