Լուծեք {l}{2x+y=k}{5x+2y=1-k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = k } \\ { 5 x + 2 y = 1 - k } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1-3k$$

$$y=7k-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=k$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+k$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+k\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+k:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+k}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+2y=1-k:

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}\right)+2y=1-k$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-y+k}{2}:

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5k}{2}+2y=1-k$$

Գումարեք -\frac{5y}{2} 2y-ին:

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5k}{2}=1-k$$

Հանեք \frac{5k}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{7k}{2}+1$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=7k-2$$

Փոխարինեք -2+7k-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\left(7k-2\right)+\frac{k}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -2+7k:

$$x=-\frac{7k}{2}+1+\frac{k}{2}$$

Գումարեք \frac{k}{2} 1-\frac{7k}{2}-ին:

$$x=1-3k$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1-3k,y=7k-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2k+1-k\\5k-2\left(1-k\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-3k\\7k-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1-3k,y=7k-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5y=5k,2\times 5x+2\times 2y=2\left(1-k\right)$$

Պարզեցնել:

$$10x+5y=5k,10x+4y=2-2k$$

Հանեք 10x+4y=2-2k 10x+5y=5k-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+5y-4y=5k+2k-2$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5y-4y=5k+2k-2$$

Գումարեք 5y -4y-ին:

$$y=5k+2k-2$$

Գումարեք 5k -2+2k-ին:

$$y=7k-2$$

Փոխարինեք -2+7k-ը y-ով 5x+2y=1-k-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+2\left(7k-2\right)=1-k$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -2+7k:

$$5x+14k-4=1-k$$

Հանեք -4+14k հավասարման երկու կողմից:

$$5x=5-15k$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=1-3k$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1-3k,y=7k-2$$