Լուծեք {l}{2x+y=5}{-x+5y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { - x + 5 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+y=5$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -y+5:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+5y=3:

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=3$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{-y+5}{2}:

$$\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+5y=3$$

Գումարեք \frac{y}{2} 5y-ին:

$$\frac{11}{2}y-\frac{5}{2}=3$$

Գումարեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{11}{2}y=\frac{11}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{-1+5}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} -\frac{1}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2\times 5-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 5-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\times 5-\frac{1}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 5+\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+y=5,-x+5y=3$$

2x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-2x-y=-5,2\left(-1\right)x+2\times 5y=2\times 3$$

Պարզեցնել:

$$-2x-y=-5,-2x+10y=6$$

Հանեք -2x+10y=6 -2x-y=-5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-y-10y=-5-6$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y-10y=-5-6$$

Գումարեք -y -10y-ին:

$$-11y=-5-6$$

Գումարեք -5 -6-ին:

$$-11y=-11$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով -x+5y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+5=3$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=1$$