Լուծեք {l}{2x+3y=1800}{x+2y=105}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1800 } \\ { x + 2 y = 105 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3285$$

$$y=-1590$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=1800,x+2y=105$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=1800$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+1800$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1800\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+1800:

$$x=-\frac{3}{2}y+900$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+900-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+2y=105:

$$-\frac{3}{2}y+900+2y=105$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} 2y-ին:

$$\frac{1}{2}y+900=105$$

Հանեք 900 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{2}y=-795$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$y=-1590$$

Փոխարինեք -1590-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+900-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\left(-1590\right)+900$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -1590:

$$x=2385+900$$

Գումարեք 900 2385-ին:

$$x=3285$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3285,y=-1590$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=1800,x+2y=105$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\105\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\105\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\105\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\105\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\105\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\105\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-3\times 105\\-1800+2\times 105\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3285\\-1590\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3285,y=-1590$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=1800,x+2y=105$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x+3y=1800,2x+2\times 2y=2\times 105$$

Պարզեցնել:

$$2x+3y=1800,2x+4y=210$$

Հանեք 2x+4y=210 2x+3y=1800-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+3y-4y=1800-210$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y-4y=1800-210$$

Գումարեք 3y -4y-ին:

$$-y=1800-210$$

Գումարեք 1800 -210-ին:

$$-y=1590$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-1590$$

Փոխարինեք -1590-ը y-ով x+2y=105-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+2\left(-1590\right)=105$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1590:

$$x-3180=105$$

Գումարեք 3180 հավասարման երկու կողմին:

$$x=3285$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3285,y=-1590$$