Լուծեք {l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1.1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1.1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{213}{140} = 1\frac{73}{140} = 1.5214285714285714$$

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=18-n$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+18-n$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+18-n:

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-y=5n+1.1:

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1.1$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}:

$$-6y+36-2n-y=5n+1.1$$

Գումարեք -6y -y-ին:

$$-7y+36-2n=5n+1.1$$

Հանեք 36-2n հավասարման երկու կողմից:

$$-7y=7n-34.9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Փոխարինեք -n+\frac{349}{70}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{349}{70}-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -n+\frac{349}{70}:

$$x=\frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}-\frac{n}{2}+9$$

Գումարեք 9-\frac{n}{2} \frac{3n}{2}-\frac{1047}{140}-ին:

$$x=n+\frac{213}{140}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1.1\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1.1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{213}{140}\\\frac{349}{70}-n\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.1$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1.1\right)$$

Պարզեցնել:

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+2.2$$

Հանեք 8x-2y=10n+2.2 8x+12y=72-4n-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y+2y=72-4n-10n-2.2$$

Գումարեք 12y 2y-ին:

$$14y=72-4n-10n-2.2$$

Գումարեք 72-4n -10n-2.2-ին:

$$14y=69.8-14n$$

Բաժանեք երկու կողմերը 14-ի:

$$y=\frac{349}{70}-n$$

Փոխարինեք \frac{349}{70}-n-ը y-ով 4x-y=5n+1.1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-\left(\frac{349}{70}-n\right)=5n+1.1$$

Հանեք -\frac{349}{70}+n հավասարման երկու կողմից:

$$4x=4n+\frac{213}{35}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=n+\frac{213}{140}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=n+\frac{213}{140},y=\frac{349}{70}-n$$