Լուծեք {l}{2x+3y=-2}{3x+4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = - 2 } \\ { 3 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=-2,3x+4y=-1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=-2$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y-2:

$$x=-\frac{3}{2}y-1$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}-1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+4y=-1:

$$3\left(-\frac{3}{2}y-1\right)+4y=-1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{3y}{2}-1:

$$-\frac{9}{2}y-3+4y=-1$$

Գումարեք -\frac{9y}{2} 4y-ին:

$$-\frac{1}{2}y-3=-1$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{1}{2}y=2$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\left(-4\right)-1$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -4:

$$x=6-1$$

Գումարեք -1 6-ին:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=-2,3x+4y=-1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\left(-2\right)+3\left(-1\right)\\3\left(-2\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=-2,3x+4y=-1$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 3y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 4y=2\left(-1\right)$$

Պարզեցնել:

$$6x+9y=-6,6x+8y=-2$$

Հանեք 6x+8y=-2 6x+9y=-6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+9y-8y=-6+2$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-8y=-6+2$$

Գումարեք 9y -8y-ին:

$$y=-6+2$$

Գումարեք -6 2-ին:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով 3x+4y=-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+4\left(-4\right)=-1$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -4:

$$3x-16=-1$$

Գումարեք 16 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-4$$