Լուծեք {l}{2p+3x=10}{p-x+2=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 x = 10 } \\ { p - x + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել p, x-ի համար

$$x = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5} = 2.8$$

$$p=\frac{4}{5}=0.8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն p-ի համար՝ առանձնացնելով p-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2p+3x=10$$

Հանեք 3x հավասարման երկու կողմից:

$$2p=-3x+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$p=\frac{1}{2}\left(-3x+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3x+10:

$$p=-\frac{3}{2}x+5$$

Փոխարինեք -\frac{3x}{2}+5-ը p-ով մյուս հավասարման մեջ՝ p-x+2=0:

$$-\frac{3}{2}x+5-x+2=0$$

Գումարեք -\frac{3x}{2} -x-ին:

$$-\frac{5}{2}x+5+2=0$$

Գումարեք 5 2-ին:

$$-\frac{5}{2}x+7=0$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{2}x=-7$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{14}{5}$$

Փոխարինեք \frac{14}{5}-ը x-ով p=-\frac{3}{2}x+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$p=-\frac{3}{2}\times \frac{14}{5}+5$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{14}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$p=-\frac{21}{5}+5$$

Գումարեք 5 -\frac{21}{5}-ին:

$$p=\frac{4}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 10-\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}p\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{14}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի p և x տարրերը:

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2p+3x=10,p-x+2=0$$

2p-ը և p-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2p+3x=10,2p+2\left(-1\right)x+2\times 2=0$$

Պարզեցնել:

$$2p+3x=10,2p-2x+4=0$$

Հանեք 2p-2x+4=0 2p+3x=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2p-2p+3x+2x-4=10$$

Գումարեք 2p -2p-ին: 2p-ը և -2p-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3x+2x-4=10$$

Գումարեք 3x 2x-ին:

$$5x-4=10$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=14$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{14}{5}$$

Փոխարինեք \frac{14}{5}-ը x-ով p-x+2=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես p-ի համար:

$$p-\frac{14}{5}+2=0$$

Գումարեք -\frac{14}{5} 2-ին:

$$p-\frac{4}{5}=0$$

Գումարեք \frac{4}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$p=\frac{4}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$p=\frac{4}{5},x=\frac{14}{5}$$