Լուծեք {l}{2a+3b=4}{3a-8b=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { 3 a - 8 b = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a = \frac{47}{25} = 1\frac{22}{25} = 1.88$$

$$b=\frac{2}{25}=0.08$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2a+3b=4$$

Հանեք 3b հավասարման երկու կողմից:

$$2a=-3b+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3b+4:

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

Փոխարինեք -\frac{3b}{2}+2-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3a-8b=5:

$$3\left(-\frac{3}{2}b+2\right)-8b=5$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{3b}{2}+2:

$$-\frac{9}{2}b+6-8b=5$$

Գումարեք -\frac{9b}{2} -8b-ին:

$$-\frac{25}{2}b+6=5$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{25}{2}b=-1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{25}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=\frac{2}{25}$$

Փոխարինեք \frac{2}{25}-ը b-ով a=-\frac{3}{2}b+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{25}+2$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{2}{25}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$a=-\frac{3}{25}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{3}{25}-ին:

$$a=\frac{47}{25}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-8\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-8\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 4-\frac{2}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{25}\\\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2a+3b=4,3a-8b=5$$

2a-ը և 3a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2a+3\times 3b=3\times 4,2\times 3a+2\left(-8\right)b=2\times 5$$

Պարզեցնել:

$$6a+9b=12,6a-16b=10$$

Հանեք 6a-16b=10 6a+9b=12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6a-6a+9b+16b=12-10$$

Գումարեք 6a -6a-ին: 6a-ը և -6a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9b+16b=12-10$$

Գումարեք 9b 16b-ին:

$$25b=12-10$$

Գումարեք 12 -10-ին:

$$25b=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$b=\frac{2}{25}$$

Փոխարինեք \frac{2}{25}-ը b-ով 3a-8b=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$3a-8\times \frac{2}{25}=5$$

Բազմապատկեք -8 անգամ \frac{2}{25}:

$$3a-\frac{16}{25}=5$$

Գումարեք \frac{16}{25} հավասարման երկու կողմին:

$$3a=\frac{141}{25}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$a=\frac{47}{25}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{47}{25},b=\frac{2}{25}$$