Լուծեք {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-19$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y+3y=4$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Համակցեք 5x և -7x և ստացեք -2x:

$$-2x+5y+7y=2$$

Համակցեք 5y և 7y և ստացեք 12y:

$$-2x+12y=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x+5y=4$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-5y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -5y+4:

$$x=5y-4$$

Փոխարինեք 5y-4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+12y=2:

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 5y-4:

$$-10y+8+12y=2$$

Գումարեք -10y 12y-ին:

$$2y+8=2$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$2y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=5y-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=5\left(-3\right)-4$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -3:

$$x=-15-4$$

Գումարեք -4 -15-ին:

$$x=-19$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-19,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y+3y=4$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Համակցեք 5x և -7x և ստացեք -2x:

$$-2x+5y+7y=2$$

Համակցեք 5y և 7y և ստացեք 12y:

$$-2x+12y=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-19,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y+3y=4$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Համակցեք 5x և -7x և ստացեք -2x:

$$-2x+5y+7y=2$$

Համակցեք 5y և 7y և ստացեք 12y:

$$-2x+12y=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

-x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

Պարզեցնել:

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

Հանեք 2x-12y=-2 2x-10y=-8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-10y+12y=-8+2$$

Գումարեք -10y 12y-ին:

$$2y=-8+2$$

Գումարեք -8 2-ին:

$$2y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով -2x+12y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

Բազմապատկեք 12 անգամ -3:

$$-2x-36=2$$

Գումարեք 36 հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=38$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-19$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-19,y=-3$$