Լուծեք {l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x+2y-x+y=3$$

Համակցեք 2x և -x և ստացեք x:

$$x+2y+y=3$$

Համակցեք 2y և y և ստացեք 3y:

$$x+3y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$x+y-2x+2y=1$$

Համակցեք x և -2x և ստացեք -x:

$$-x+y+2y=1$$

Համակցեք y և 2y և ստացեք 3y:

$$-x+3y=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+3y=3$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-3y+3$$

Փոխարինեք -3y+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+3y=1:

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -3y+3:

$$3y-3+3y=1$$

Գումարեք 3y 3y-ին:

$$6y-3=1$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$6y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{2}{3}-ը y-ով x=-3y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{2}{3}:

$$x=-2+3$$

Գումարեք 3 -2-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x+2y-x+y=3$$

Համակցեք 2x և -x և ստացեք x:

$$x+2y+y=3$$

Համակցեք 2y և y և ստացեք 3y:

$$x+3y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$x+y-2x+2y=1$$

Համակցեք x և -2x և ստացեք -x:

$$-x+y+2y=1$$

Համակցեք y և 2y և ստացեք 3y:

$$-x+3y=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$2x+2y-x+y=3$$

Համակցեք 2x և -x և ստացեք x:

$$x+2y+y=3$$

Համակցեք 2y և y և ստացեք 3y:

$$x+3y=3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$x+y-2x+2y=1$$

Համակցեք x և -2x և ստացեք -x:

$$-x+y+2y=1$$

Համակցեք y և 2y և ստացեք 3y:

$$-x+3y=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Հանեք -x+3y=1 x+3y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x+x+3y-3y=3-1$$

Գումարեք 3y -3y-ին: 3y-ը և -3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$x+x=3-1$$

Գումարեք x x-ին:

$$2x=3-1$$

Գումարեք 3 -1-ին:

$$2x=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=1$$

Փոխարինեք 1-ը x-ով -x+3y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-1+3y=1$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$3y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$