Լուծեք {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=2$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$150y+200x=1000$$

Հանեք 200x հավասարման երկու կողմից:

$$150y=-200x+1000$$

Բաժանեք երկու կողմերը 150-ի:

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{150} անգամ -200x+1000:

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-4x+20}{3}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 100y+400x=1200:

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

Բազմապատկեք 100 անգամ \frac{-4x+20}{3}:

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

Գումարեք -\frac{400x}{3} 400x-ին:

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

Հանեք \frac{2000}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{800}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ 2:

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

Գումարեք \frac{20}{3} -\frac{8}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=4,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=4,x=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

150y-ը և 100y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 100-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 150-ով:

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

Պարզեցնել:

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

Հանեք 15000y+60000x=180000 15000y+20000x=100000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

Գումարեք 15000y -15000y-ին: 15000y-ը և -15000y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$20000x-60000x=100000-180000$$

Գումարեք 20000x -60000x-ին:

$$-40000x=100000-180000$$

Գումարեք 100000 -180000-ին:

$$-40000x=-80000$$

Բաժանեք երկու կողմերը -40000-ի:

$$x=2$$

Փոխարինեք 2-ը x-ով 100y+400x=1200-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$100y+400\times 2=1200$$

Բազմապատկեք 400 անգամ 2:

$$100y+800=1200$$

Հանեք 800 հավասարման երկու կողմից:

$$100y=400$$

Բաժանեք երկու կողմերը 100-ի:

$$y=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=4,x=2$$