Լուծեք {l}{10(x+y)=1000}{12.5(x-y)=1000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 ( x + y ) = 1000 } \\ { 12.5 ( x - y ) = 1000 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=90$$

$$y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x+y=\frac{1000}{10}$$

Բաժանեք 1000 10-ի և ստացեք 100:

$$x+y=100$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 12.5-ի:

$$x-y=\frac{1000}{12.5}$$

Ընդարձակեք \frac{1000}{12.5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչն ու հայտարարը 10-ով:

$$x-y=\frac{10000}{125}$$

Բաժանեք 10000 125-ի և ստացեք 80:

$$x-y=80$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=100,x-y=80$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=100$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+100$$

Փոխարինեք -y+100-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=80:

$$-y+100-y=80$$

Գումարեք -y -y-ին:

$$-2y+100=80$$

Հանեք 100 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=10$$

Փոխարինեք 10-ը y-ով x=-y+100-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-10+100$$

Գումարեք 100 -10-ին:

$$x=90$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=90,y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x+y=\frac{1000}{10}$$

Բաժանեք 1000 10-ի և ստացեք 100:

$$x+y=100$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 12.5-ի:

$$x-y=\frac{1000}{12.5}$$

Ընդարձակեք \frac{1000}{12.5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչն ու հայտարարը 10-ով:

$$x-y=\frac{10000}{125}$$

Բաժանեք 10000 125-ի և ստացեք 80:

$$x-y=80$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=100,x-y=80$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\80\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\80\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\80\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\80\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\80\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\80\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 100+\frac{1}{2}\times 80\\\frac{1}{2}\times 100-\frac{1}{2}\times 80\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\10\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=90,y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x+y=\frac{1000}{10}$$

Բաժանեք 1000 10-ի և ստացեք 100:

$$x+y=100$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 12.5-ի:

$$x-y=\frac{1000}{12.5}$$

Ընդարձակեք \frac{1000}{12.5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչն ու հայտարարը 10-ով:

$$x-y=\frac{10000}{125}$$

Բաժանեք 10000 125-ի և ստացեք 80:

$$x-y=80$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=100,x-y=80$$

Հանեք x-y=80 x+y=100-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x+y+y=100-80$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y+y=100-80$$

Գումարեք y y-ին:

$$2y=100-80$$

Գումարեք 100 -80-ին:

$$2y=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=10$$

Փոխարինեք 10-ը y-ով x-y=80-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-10=80$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$x=90$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=90,y=10$$