Լուծեք {l}{-3x+y=-1}{5x-2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + y = - 1 } \\ { 5 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-9$$

$$y=-28$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-3x+y=-1$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$-3x=-y-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ -y-1:

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{1+y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-2y=11:

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-2y=11$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{1+y}{3}:

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-2y=11$$

Գումարեք \frac{5y}{3} -2y-ին:

$$-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}=11$$

Հանեք \frac{5}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{3}y=\frac{28}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -3-ով:

$$y=-28$$

Փոխարինեք -28-ը y-ով x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\left(-28\right)+\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -28:

$$x=\frac{-28+1}{3}$$

Գումարեք \frac{1}{3} -\frac{28}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-9,y=-28$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{-3\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{3}{-3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)-11\\-5\left(-1\right)-3\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-28\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-9,y=-28$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

-3x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -3-ով:

$$5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right),-3\times 5x-3\left(-2\right)y=-3\times 11$$

Պարզեցնել:

$$-15x+5y=-5,-15x+6y=-33$$

Հանեք -15x+6y=-33 -15x+5y=-5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-15x+15x+5y-6y=-5+33$$

Գումարեք -15x 15x-ին: -15x-ը և 15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5y-6y=-5+33$$

Գումարեք 5y -6y-ին:

$$-y=-5+33$$

Գումարեք -5 33-ին:

$$-y=28$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-28$$

Փոխարինեք -28-ը y-ով 5x-2y=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-2\left(-28\right)=11$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -28:

$$5x+56=11$$

Հանեք 56 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-45$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-9,y=-28$$