Լուծեք {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Համակցեք -2y և -5y և ստացեք -7y:

$$2x-7y=10x-10$$

Հանեք 10x երկու կողմերից:

$$2x-7y-10x=-10$$

Համակցեք 2x և -10x և ստացեք -8x:

$$-8x-7y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+3y+6=6$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$2x+3y=6-6$$

Հանեք 6 6-ից և ստացեք 0:

$$2x+3y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-8x-7y=-10$$

Գումարեք 7y հավասարման երկու կողմին:

$$-8x=7y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ 7y-10:

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=0:

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}:

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

Գումարեք -\frac{7y}{4} 3y-ին:

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{5}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{8} անգամ -2:

$$x=\frac{7+5}{4}$$

Գումարեք \frac{5}{4} \frac{7}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Համակցեք -2y և -5y և ստացեք -7y:

$$2x-7y=10x-10$$

Հանեք 10x երկու կողմերից:

$$2x-7y-10x=-10$$

Համակցեք 2x և -10x և ստացեք -8x:

$$-8x-7y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+3y+6=6$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$2x+3y=6-6$$

Հանեք 6 6-ից և ստացեք 0:

$$2x+3y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 10-ով՝ 5,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Համակցեք -2y և -5y և ստացեք -7y:

$$2x-7y=10x-10$$

Հանեք 10x երկու կողմերից:

$$2x-7y-10x=-10$$

Համակցեք 2x և -10x և ստացեք -8x:

$$-8x-7y=-10$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 y+2-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+3y+6=6$$

Հանեք 6 երկու կողմերից:

$$2x+3y=6-6$$

Հանեք 6 6-ից և ստացեք 0:

$$2x+3y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

-8x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -8-ով:

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

Պարզեցնել:

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

Հանեք -16x-24y=0 -16x-14y=-20-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

Գումարեք -16x 16x-ին: -16x-ը և 16x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-14y+24y=-20$$

Գումարեք -14y 24y-ին:

$$10y=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով 2x+3y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -2:

$$2x-6=0$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=-2$$