Լուծեք {l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-2y=6$$

Համակցեք -3y և -2y և ստացեք -5y:

$$3x-5y=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք 2x+y-ի յուրաքանչյուր պարամետրը 2-ի և ստացեք x+\frac{1}{2}y:

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Համակցեք \frac{1}{2}y և -y և ստացեք -\frac{1}{2}y:

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-5y=6$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=5y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 5y+6:

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

Փոխարինեք \frac{5y}{3}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-\frac{1}{2}y=0:

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

Գումարեք \frac{5y}{3} -\frac{y}{2}-ին:

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{7}{6}y=-2$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{6}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{12}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{12}{7}-ը y-ով x=\frac{5}{3}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

Բազմապատկեք \frac{5}{3} անգամ -\frac{12}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

Գումարեք 2 -\frac{20}{7}-ին:

$$x=-\frac{6}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-2y=6$$

Համակցեք -3y և -2y և ստացեք -5y:

$$3x-5y=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք 2x+y-ի յուրաքանչյուր պարամետրը 2-ի և ստացեք x+\frac{1}{2}y:

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Համակցեք \frac{1}{2}y և -y և ստացեք -\frac{1}{2}y:

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 2,3-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x-3y-2y=6$$

Համակցեք -3y և -2y և ստացեք -5y:

$$3x-5y=6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք 2x+y-ի յուրաքանչյուր պարամետրը 2-ի և ստացեք x+\frac{1}{2}y:

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Համակցեք \frac{1}{2}y և -y և ստացեք -\frac{1}{2}y:

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

3x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

Պարզեցնել:

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

Հանեք 3x-\frac{3}{2}y=0 3x-5y=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

Գումարեք -5y \frac{3y}{2}-ին:

$$-\frac{7}{2}y=6$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{12}{7}$$

Փոխարինեք -\frac{12}{7}-ը y-ով x-\frac{1}{2}y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -\frac{12}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x+\frac{6}{7}=0$$

Հանեք \frac{6}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{6}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$