Լուծեք {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-3y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 12-ով:

$$12x+y=24$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x-3y=24$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$2x=3y+24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 24+3y:

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Փոխարինեք \frac{3y}{2}+12-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 12x+y=24:

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

Բազմապատկեք 12 անգամ \frac{3y}{2}+12:

$$18y+144+y=24$$

Գումարեք 18y y-ին:

$$19y+144=24$$

Հանեք 144 հավասարման երկու կողմից:

$$19y=-120$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$y=-\frac{120}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{120}{19}-ը y-ով x=\frac{3}{2}y+12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ -\frac{120}{19}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

Գումարեք 12 -\frac{180}{19}-ին:

$$x=\frac{48}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-3y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 12-ով:

$$12x+y=24$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 6-ով՝ 3,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$2x-3y=24$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 12-ով:

$$12x+y=24$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

2x-ը և 12x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 12-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

Պարզեցնել:

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

Հանեք 24x+2y=48 24x-36y=288-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

Գումարեք 24x -24x-ին: 24x-ը և -24x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-36y-2y=288-48$$

Գումարեք -36y -2y-ին:

$$-38y=288-48$$

Գումարեք 288 -48-ին:

$$-38y=240$$

Բաժանեք երկու կողմերը -38-ի:

$$y=-\frac{120}{19}$$

Փոխարինեք -\frac{120}{19}-ը y-ով 12x+y=24-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

Գումարեք \frac{120}{19} հավասարման երկու կողմին:

$$12x=\frac{576}{19}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$x=\frac{48}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$