Լուծեք {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք 4-ով՝ 4,2-ի ընդհանուր ամենափոքր բազմապատիկով:

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք my երկու կողմերից:

$$x-my=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

Լուծեք x+\left(-m\right)y=1-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+\left(-m\right)y=1$$

Հանեք \left(-m\right)y հավասարման երկու կողմից:

$$x=my+1$$

Փոխարինեք my+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2y^{2}+x^{2}=4:

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

my+1-ի քառակուսի:

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

Գումարեք 2y^{2} m^{2}y^{2}-ին:

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2+1m^{2}-ը a-ով, 1\times 1\times 2m-ը b-ով և -3-ը c-ով:

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

1\times 1\times 2m-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2+1m^{2}:

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Բազմապատկեք -8-4m^{2} անգամ -3:

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Գումարեք 4m^{2} 24+12m^{2}-ին:

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Հանեք 24+16m^{2}-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2+1m^{2}:

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -2m 2\sqrt{6+4m^{2}}-ին:

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Բաժանեք -2m+2\sqrt{6+4m^{2}}-ը 4+2m^{2}-ի վրա:

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2\sqrt{6+4m^{2}} -2m-ից:

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Բաժանեք -2m-2\sqrt{6+4m^{2}}-ը 4+2m^{2}-ի վրա:

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} և -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}: Փոխարինեք \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}-ը y-ով x=my+1 հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

Բազմապատկեք m անգամ \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}:

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

Գումարեք m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 1-ին:

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Այժմ փոխարինեք -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}-ը y-ով x=my+1 հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

Բազմապատկեք m անգամ -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}:

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

Գումարեք m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) 1-ին:

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$