Լուծեք {l}{1/2x-4y=30}{y-2x=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - 4 y = 30 } \\ { y - 2 x = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-12$$

$$y=-9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{1}{2}x-4y=30$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{2}x=4y+30$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$x=2\left(4y+30\right)$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4y+30:

$$x=8y+60$$

Փոխարինեք 8y+60-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+y=15:

$$-2\left(8y+60\right)+y=15$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 8y+60:

$$-16y-120+y=15$$

Գումարեք -16y y-ին:

$$-15y-120=15$$

Գումարեք 120 հավասարման երկու կողմին:

$$-15y=135$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=-9$$

Փոխարինեք -9-ը y-ով x=8y+60-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=8\left(-9\right)+60$$

Բազմապատկեք 8 անգամ -9:

$$x=-72+60$$

Գումարեք 60 -72-ին:

$$x=-12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-12,y=-9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&-\frac{8}{15}\\-\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 30-\frac{8}{15}\times 15\\-\frac{4}{15}\times 30-\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-12,y=-9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

\frac{x}{2}-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{1}{2}-ով:

$$-2\times \frac{1}{2}x-2\left(-4\right)y=-2\times 30,\frac{1}{2}\left(-2\right)x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 15$$

Պարզեցնել:

$$-x+8y=-60,-x+\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

Հանեք -x+\frac{1}{2}y=\frac{15}{2} -x+8y=-60-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-x+x+8y-\frac{1}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Գումարեք -x x-ին: -x-ը և x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8y-\frac{1}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Գումարեք 8y -\frac{y}{2}-ին:

$$\frac{15}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Գումարեք -60 -\frac{15}{2}-ին:

$$\frac{15}{2}y=-\frac{135}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{15}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-9$$

Փոխարինեք -9-ը y-ով -2x+y=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-9=15$$

Գումարեք 9 հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-12,y=-9$$